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Discrétisation des équations de la dynamique

 

Robert Sadourny, Phu Le Van, Frédéric Hourdin
Laboratoire de Météorologie Dynamique du CNRS
Ecole Normale Supérieure
24 rue Lhomond
75231 PARIS cedex 05
FRANCE

Le modèle climatique du LMD est bâti, comme tous les modèles de circulation générale atmosphérique, sur la résolution numérique des équations primitives de la météorologie décrites dans de nombreux ouvrages [2]. L'analyse présentée ici a été menée sur la nouvelle version de la dynamique du LMD écrite par Phu Le Van [7] sur une formulation de Robert Sadourny. Cette formulation diffère de l'ancienne essentiellement par deux points: dans la nouvelle formulation, la répartition des points en longitude et en latitude peut être changée arbitrairement. L'autre modification porte sur la répartition des points aux pôlesgif.

La coordonnée verticale du modèle est la pression normalisée par sa valeur à la surface: tex2html_wrap_inline5399 . On utilise en fait tex2html_wrap_inline5401 aux niveaux inter-couches et tex2html_wrap_inline5403 au milieu des couches. On note X et Y les coordonnées horizontales:

  figure207
Figure 2.1: Grille obtenue avec 96 points en longitude et 73 en latitude et un zoom d'un facteur 3 centré sur la méditérannée (grille utilisée au laboratoire par Ali Harzallah) 

X (resp. Y) est une fonction biunivoque de la longitude tex2html_wrap_inline5413 (resp. de la latitude tex2html_wrap_inline5415 ). Ces deux fonctions peuvent être choisies de façon arbitraire dans le modèle LMDZ ce qui permet d'effectuer un zoom sur une région du globe particulière. Une grille de ce type est montrée sur la Figure 2.1. Les variables scalaires (température potentielle tex2html_wrap_inline5417 , géopotentiel tex2html_wrap_inline5419 et pression de surface tex2html_wrap_inline5421 ) sont évaluées aux points correspondant à des couples de valeurs entières (X,Y)=(i,j). Les variables dynamiques sont décalées par rapport aux variables scalaires en utilisant une grille C dans la définition de Arakawa []: le vent zonal est calculé aux points (X,Y)=(i+1/2,j) et le vent méridien aux points (X,Y)=(i,j+1/2). La disposition des variables sur la grille est illustrée sur la Figure 2.2.

   figure217
Figure 2.2: Disposition des variables dans la grille du LMD

On utilise en fait les composantes covariantes ( tex2html_wrap_inline5431 et tex2html_wrap_inline5433 ) et contravariantes ( tex2html_wrap_inline5435 et tex2html_wrap_inline5437 ) du vent définies par

equation222

u et v sont les composantes physiques du vecteur vent horizontal. On introduit également:

la pression extensive:

tex2html_wrap_inline5449 (pression au sol multipliée par l'aire de la maille).

les trois composantes du flux de masse:

equation234

le facteur de Coriolis multiplié par l'aire de la maille:

tex2html_wrap_inline5451
tex2html_wrap_inline5453 est la vitesse de rotation de la planète.

la vorticité potentielle absolue:

equation249

l'énergie cinétique

equation252


La notation tex2html_wrap_inline5455 signifie simplement qu'on effectue la différence entre deux points consécutifs suivant la direction X. La notation tex2html_wrap_inline5459 signifie qu'on prend la moyenne arithmétique de la quantité a suivant la direction X. tex2html_wrap_inline5465 est un filtre longitudinale appliqué dans les régions polaires. Les équations discrétisées sont écrites sous la forme suivante:

équations du mouvement:

  equation257

tex2html_wrap_inline5467 est la composante zonale covariante du vecteur vent absolu: tex2html_wrap_inline5469 et

  equation283

équation thermodynamique:

  equation309

équation hydrostatique:

equation321

équations de continuité:

  equation326

  equation331

On a noté S les termes sources dans les différentes équations. Dans ces termes sources, on distingue 1) d'une part les paramétrisations physiques mentionnées plus haut et qui font intervenir pour une maille donnée du modèle, tous les points situés sur une même verticale mais ceux-là seulement; 2) les opérateurs de dissipation horizontales, scencés rendre compte des échanges entre échelles explicitement représentées dans le modèle et échelles sous-mailles. Ces opérateurs ont la structure de Laplaciens agissant sur des plans horizontaux c'est à dire qu'il font intervenir un voisin de chaque côté dans les deux directions horizontales. Cet opérateur est généralement itéré pour le rendre plus selectif en échelle (plus on itère un laplacien et plus sont effet sur les petites échelles devient important relativement).


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HOURDIN Christophe
Wed Jan 13 11:16:49 MET 1999